گروه ساده:به گروهی میگن که هیچ زیر گروه نرمالی نداشته باشه.

زیر گروه نرمال:به N زیرگروه G نرمال میگند اگه به ازای هر xکه به G متعلق باشه

داشته باشیم xNx^-1زیر مجموعه N باشه

مثلا اگر G گروهی آبلی باشه در اینصورت همه زیر گروهاش نرمال هستند.

قضیه برنساید:هر گروه متناهی ساده وغیرآبلی دارای مرتبه زوج است. 

این قضیه رو برنساید در سال ۱۹۰۰ مطرح کرد و تا سال ۱۹۵۶ این قضیه مثل یک

حدس مونده بود تا اینکه توماس و فیت دو ریاضیدان حرفه ای اونو ثابت کردند.اما چه

اثباتی  !!!!! برای گروههایی تا مرتبه حدودا ۱۰۰۰۰ بوسیله ی ابر کامپیوترها چک

کردند از اون به بعدشم در ۲۵۶ صفحه اثبات کردند.

حالا هی بگید ریاضی آسونه همش ۲+۲=۴ هستش .

پیچیده گی های اعداد اول

در150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در

جهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد

بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست.این مبحث بسیار وسیع

است و در بعضی قسمتها نیاز به دانستن مطالب عمیقی از

ریاضیات پیشرفته (مثل نظریه گالوا و آنالیز در سطح بالا )

دارد. با اینحال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به

آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط میشوند .

در نوشته ی قبلی اعداد کوچکتر از 500 ذکر شده اند .در 1914

ریاضیدان آمریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد 

اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد

اول وجود دارد یعنی حدود6.5 درصد.همچنین دی اچ لمر(پسر

دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را حساب

کرد 455052512.حدوداً 4.5 درصد .

بررسی دقیق اعداد اول نشان می دهد که توزیع بسیار نامنظمی 

دارند . به آسانی ثابت میشود که شکافهای به اندازه ی دلخواه 

بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول

متوالی ، نظیر 3و5 یا 101و103 همین طور تکرار میشوند

جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است اعداد اول دو قلو

نامیده میشوند بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000  

بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند این مسئله که

آیا بینهایت تا از این اعداد وجود دارد یا نه هنوز حل نشده است

ادامه دارد.......