معمولا کسانی که درس جبر مجرد را برای اولین بار می گذرانند و هیچ پیش زمینه ای از قبل ندارند گمان میکنند که نظریه گروهها مبحثی است که چندان ارتباطی با زندگی روزمره ندارد.حال آنکه با نگاهی به اطراف می توان دید که گروهها به طور طبیعی در بسیاری از اشیا و پدیده ها و حرکت ها حضور دارند، از چرخ ماشین و دوچرخه و کلیدهای برق تا مسابقات اسب سواری !! و طرق مختلف دوران دادن یک متکا و مکعب روبیک و حل پازل ها. مثلا راهروها و پله ها ی اغلب منازل چراغ هایی دارند که با دو یا چند کلید خاموش و روشن میشوند به طوری که با زدن هر کلید، حالت چراغ از خاموش به روشن یا برعکس، تغییر میکند. گروه Z2+Z2 (منظور از + جمع مستقیم است) مدل وضعیتی است که تعداد کلید ها 2 تا باشد.اگر سیم کشی طوری باشد که چراغ ها وقتی روشن باشند که هر دو کلید پایین یا بالا باشند، می توان حالات دو کلید را متناظر با اعضای Z2+Z2 گرفت به طوری که قرار داشتن کلید ها در موقعیت "بالا" متناظر با (0و0) و در موقعیت "پایین" متناظر با (1و1) باشد. هر بار که کلیدی زده میشود ،1 را به مولفه متناظر Z2+ Z2می افزاییم. در نتیجه، چراغ ها وقتی روشن اند که کلید ها متناظر با اعضای زیر گروه <(1و1)> باشند ، و خاموش اند اگر کلید ها متناظر با هم مجموعه ی <(1و1)>+(0و1) باشند . مدل وضعیتی که سه کلید در کار باشد، گروه Z2+Z2+Z2 است به طوری که زیر گروه <(1و1و0)و(0و1و1)> متناظر با حالتی است که چراغ ها روشن اند.
مرجع:
J.A.Gallian, Groups in the Household, Focus 25 (2005), 10-11.

سلام این لینکو حتما دانلود کنید این مقاله رو یک ریاضیدان که برنده ی مدال فیلدز بوده نوشته

ترک ریاضیات به قصد فلسفه