معادلات تابعی(2)

اما بازم کمه.اعداد حقیقی خیلی بیشتر از اعدادگویا هستند!!

با کارهایی که با عدد1 کردیم(تعدادی ازآنها رابا هم جمع و تقسیم بر عددی صحیح کردیم وتوانستیم تمام اعدادگویایqراتولید کرده ونشان دادیم که f(q)=q.)اما آیا با این اعمال میشه عدد دلخواه a را تولید کرده وگوییم f(a)=a

نه این طور نیست درواقع واضح ترین جواب برای سوال این است:معادله کوشی جوابی به غیر از تابع همانی دارد!!!البته اگر سعی کنید پیدایش کنید احتمالا موفق نمی شوید  چون جواب های دیگر این معادله خواص واقعا عجیبی دارند و توابع معمولی نیستند

چون که دیدیم تابع دیگری غیر از همانی در کوشی صدق می کند نمی توانیم همان طور که اعداد گویا را از 1تولید کردیم ونتیجه گرفتیم f(q)=qاعداد حقیقی دلخواه را تولید می کنند .حال فرض کنید aعددی دلخواه و متعلق به Rباشه اگر این بازیها رو بر سر aاجرا کنیم (یعنی تعدادی از آنها را با هم جمع کرده و تقسیم بر یک عدد صحیح بکنیم)باز مضارب گویای aرا تولید می کنیم و نه چیز دیگری .آیا همه اعداد حقیقی تولید شده اند؟نه.اگر از 1 هم استفاده کنیم وهم aفقط می توانیم اعدادی به صورت q*1+t*aکه q,tاعدادی گویا هستند .آیا همه اعداد حقیقی این جوری هستند؟نه

اگر از عدد bدلخواه نیز استفاده کنیم باز هم جواب منفی است یعنی 3عضو برای تولید R (مجموعه ی اعداد حقیقی)کافی نیست. 4عضو هم همینطور .5 عضو هم همینطور...فکر می کنید یک مجموعه ی باید چند عضو داشته باشد؟احتمالا احساس می کنید ((خیلی))و این ((خیلی))واقعا معنی دارد.مثلا(تعداد اعداد حقیقی خیلی بیشتر از اعداد گویاست)(هر چند هر دو تاشان بی نهایت عضو دارد)شاید عجیب باشد ولی در ریاضیات بی نهایت داریم بی نهایت!!!)

به مجموعه ((کافی))برمی گردیم.احتمالابا صحبت های بالا می توانید تعریف دقیق این مجموعه راحدس بزنید.در واقع به Aزیر مجموعه اعداد حقیقی ،کافی گوییم اگر هر عدد حقیقی a رابتوانیم به صورت جمع عناصری از A(با ضرایب گویا) بنویسیم.

اصلا مجموعه "کافی"هم وجود دارد؟بله،مثلا واضح است که خودRکافی است.اما برای این منظور ،R،عناصر اضافی نیز دارد مثلا R-{2}نیز کافی است زیرا 2=1+1و1به R-{2}است حتی 3رامیشه از R-{2}برداریم چون 3=1+1+1وحتی خیلی چیزای دیگه هم اضافه است.

حالا بیایید مفهوم "اضافه"را تعریف کنیم.فرض کنید Aیک مجموعه کافی باشد.به عنصر xمتعلق به Aرا اضافه می نامیم اگر A-{x}هم کافی باشد.در واقع یک عنصر اضافه را می شود برداشت ،به طوری که باز هم مجموعه برای تولید Rکافی باشد.

حال یک مجموعه ی Aرا در نظر بگیرید به طوری که تمام عناصر "اضافه"آن را دور ریخته باشیم یعنی Aهیچ عنصر اضافه ای نداشته باشد.در این صورت به Aیک مجموعه ی "پایه"می گویند.شاید کم کم اهمیت این مجموعه ی پایه برای شما روشن شده باشد.در واقع این مفهوم یکی از مهمترین مفاهیم موجود در ریاضی است.به این مباحث "جبرخطی"می گویندو جبرخطی کاربرد زیادی در ریاضیات دارد مثلا همین معادله کوشی !!! فکر می کنید یک مجموعه ی "پایه"چگونه به ما در حل مساله کمک می کند ؟

در قسمت بعدی این مقاله شما را با معادلات تابعی دیگری (وساده تر)آشنا می کنیم

تابع های جمعی(1)

اگرتاحالا به چیزی به اسم تابع برخورد کرده باشید بعید نیست که اسم معادلات تابعی هم به گوش شما آشنا باشد.می توانید حدس بزنید معادلات تابعی به چه چیزی گفته می شود.مثلافرض کنیدfیک تابع باشد که(f:R-->R (یک معادله تابعی یعنی عبارتی بر حسب f.مثلا

f(1)=0,   f(2x)+f(x)=2     * 

برای هر عدد حقیقی x

یک معادله تابعی است.به همان دلیل که علاقه مندیم معادلات معمولی را حل کنیم

علاقه مندیم معادلات معمولی را هم حل کنیم!!!همه تابع هایی راپیدا کنید که در* صدق می کنند.ساختن یک معادله تابعی کار بسیار ساده ای است و فقط یک مداد و یک کاغذ نیاز دارید:تعدادی f,x,yوعدد روی کاغذ بنویسید وبین آنها چندتا عملگر هم بگذارید (مثل=+- و...)اما حل آنها به این راحتی نیست.در واقع حل معادلات تابعی از جالب ترین کارهایی است که در ریاضیات مقدماتی انجام می گیرد.حل بعضی از آنها مثل یک سرگرمی ریاضی است در حالی که بعضی مواقع مفاهیم واقعا عمیقی پشت آنها خوابیده است.مثلا معادله زیر که به معادله کوشی معروف است را در نظر بگیرید

f(x+y)=f(x)+f(y)                                                                                 

برای هر x,y                                               #

 f(1)=1                                                             

به تابعی که در #صدق کند تابع جمعی می گویند بیایید کمی توابع جمعی را شناسایی کنیم اصلا تابع جمعی وجوددارد؟بله (برای هر(f(x)=x,xیعنی تابع همانی جمعی است

سعی می کنیم معادله #را حل کنیم اولین قدم برای حل مساله در صورت سوال نهفته است .همیشه قبل از حل مساله بهتر است که در صورت سوال دقت کنیم .در اینجا صورت سوال "فریاد "می زند که به جای x,yعدد بگذارید وچه عددی بهتر از0 در#قرار دهید0 x=y=  در نتیجه داریم f(0)=f(0)+f(0)یعنی f(0)=0 پس چه خوبه که قرار دهیم x=-y:

0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)

پس به ازای هر x حقیقی داریم f(x)=-f(-x)

قرار دهید x=y=1داریم:

f(2)=f(1)+f(1)=2

x=2,y=3

f(3)=f(2)+f(1)=3

به همین روش

f(4)=4,f(5)=5,....,f(m)=m

برای هر mمتعلق به اعداد طبیعی وچون داشتیم f(-x)=-f(x)

پس f(m)=mبه ازای همه اعداد صحیح

تا اینجا به راحتی نشان دادیم که fتمام اعداد صحیح را به خودشان می برد.اما بقیه اعداد حقیقی چطور؟ یه ذره دیگه محاسبه کرده و به بحث خودمون بر می گردیم.فر کنید xعدد حقیقی دلخواه باشد اگر قرار دهیم x=yداریم:

f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)

x=2y

f(3x)=f(x+2x)+f(x)+f(2x)=3f(x)

اگر همین روش را ادامه دهیم f(nx)=nf(x)

به ازای هر nطبیعی وحتی صحیح

فرض کنید q=m/nکهnطبیعی وmصحیح است پس

nf(q)=nf(m/n)=f(n.m/n)=f(m)=m

پس fاعدادگویا را هم به خودشان می برد